本文通過之前講的高階雙曲面及其曲面法線的方向余弦的公式來推導(dǎo)在近軸近似時(shí)棠枉，雙曲面的一般式及其曲面法線的方向余弦。
變形系統(tǒng)系列（六）-變形成像的理想(一階)圖像模型
現(xiàn)在讓我們看看變形系統(tǒng)能提供什么樣的圖像。為此娄猫，我們將為變形系統(tǒng)的理想行為定義一個(gè)圖像模型贱除。這個(gè)模型很重要，因?yàn)樗梢酝ㄟ^建立一個(gè)參考來簡(jiǎn)化對(duì)這種系統(tǒng)的描述稚新。模型應(yīng)該與變形系統(tǒng)理想的現(xiàn)象一致勘伺，并且可以足夠簡(jiǎn)單的觀察到。
滿足上述標(biāo)準(zhǔn)的光學(xué)圖像幾何模型將用來解釋圖像的主要特征褂删。偏離理想像的的細(xì)節(jié)可以簡(jiǎn)單地用一個(gè)依于孔徑(光闌)和視場(chǎng)(物體)變量的函數(shù)來描述飞醉。這個(gè)函數(shù)稱為像差函數(shù)，用泰勒級(jí)數(shù)表示屯阀，級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)表示一種特定類型的偏離理想像的現(xiàn)象缅帘，稱為像差。
為了構(gòu)建我們理想的成像模型难衰，我們將遵循Abbe的共線映射在兩個(gè)空間之間:物方空間和像方空間钦无。共線映射具有以下性質(zhì)
1) 每個(gè)物點(diǎn)將被映射到一個(gè)唯一的像點(diǎn);
2) 每個(gè)物面將被映射到一個(gè)唯一的像面。
由1)和2)我們可以得到盖袭，每條物方光線線都將被映射成一條唯一的像方光線失暂。這個(gè)結(jié)果是根據(jù)兩個(gè)平面的交點(diǎn)產(chǎn)生直線得出的。
由于成像系統(tǒng)幾乎執(zhí)行這些功能鳄虱，我們將假設(shè)它們的現(xiàn)象弟塞，包括變形系統(tǒng)，可以用共線映射來描述拙已。
在共線映射中决记，將物體空間中的點(diǎn)P（x，y倍踪，z）與像空間中的點(diǎn)P '（x’系宫，y’，z’）聯(lián)系起來的表達(dá)式為
空間變量x,y,z和x’,y’,z’是笛卡爾坐標(biāo)系中的位置建车，參數(shù)a扩借、b、c缤至、d是常數(shù)往枷。
由于變形系統(tǒng)具有雙平面對(duì)稱性，我們選擇z軸和z’軸沿兩個(gè)對(duì)稱平面的交點(diǎn)作為光軸，因此每個(gè)曲面都將以它為中心错洁。我們也讓x’軸平行于x軸秉宿，而y’軸平行于y軸。通過這種方式屯碴，我們可以在兩個(gè)空間中組成我們的坐標(biāo)系描睦。唯一尚未確定的是坐標(biāo)原點(diǎn)的位置。
我們現(xiàn)在可以利用雙平面對(duì)稱條件來簡(jiǎn)化上述共線映射方程导而。根據(jù)上面的公式一忱叭，從雙平面對(duì)稱性要求出發(fā)，當(dāng)x不變而y改變符號(hào)時(shí)今艺，x’不變韵丑。對(duì)x和y的所有值都成立，只要
虚缎。由于雙平面對(duì)稱性撵彻，當(dāng)x改變符號(hào)時(shí)，x’也必須改變符號(hào)实牡，因此
陌僵。對(duì)于上面的公式二，我們同樣可以證明
创坞。從公式三中碗短，我們注意到，由于對(duì)稱性题涨，當(dāng)x和y改變符號(hào)時(shí)偎谁，z’不改變(z’獨(dú)立于x和y)，這時(shí)需要
纲堵⊙灿辏考慮到所有這些要求，上面三式可簡(jiǎn)化為
通過將常數(shù)
提出來并重新定義常數(shù)婉支，我們得到
上式就是變形系統(tǒng)的理想(一階)圖像模型。從這個(gè)模型中澜建，我們知道除非
向挖，不然成像是變形的。而x方向上的放大倍數(shù)為
y方向的放大倍數(shù)為
這兩個(gè)放大倍數(shù)的比值通常稱為系統(tǒng)的畸變比
因此炕舵，我們證明了在滿足共線映射條件的情況下何之，變形系統(tǒng)確實(shí)可以形成變形圖像。我們應(yīng)該記住咽筋，在上面的化簡(jiǎn)中溶推，我們沒有對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)在兩個(gè)空間中的位置做任何限制，兩個(gè)空間中的原點(diǎn)并不一定相互共軛。
上述開發(fā)的理想圖像模型的一般特征是在一個(gè)變形圖像中允許點(diǎn)對(duì)點(diǎn)映射的蒜危。
相關(guān)文獻(xiàn)：
《幾何光學(xué) 像差 光學(xué)設(shè)計(jì)》（第三版）——李曉彤 岑兆豐
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