博覽：2021 Photonics Research迭代自由曲面透鏡設(shè)計用于光場控制

正文

博覽：2021 Photonics Research迭代自由曲面透鏡設(shè)計用于光場控制

技術(shù)背景：

光束轉(zhuǎn)換器(transformer)用于將給定的入射光束轉(zhuǎn)換為具有特定輻照度和相位(或波前)分布的輸出光束。它在光刻康聂、材料加工贰健、激光或 LED 投影儀、光通信以及光檢測和測距（激光雷達(dá)）中得到廣泛應(yīng)用恬汁。折射伶椿、反射和衍射光學(xué)元件都可用于光束轉(zhuǎn)換器。常用的折射或反射光束轉(zhuǎn)換器氓侧，設(shè)計時通臣沽恚基于射線光學(xué)理論。設(shè)計問題主要由三種類型的方程約束：光束的能量守恒甘苍、以向量形式的斯涅爾定律(Snell's law)支配的光線追蹤方程以及描述在輸入和輸出波前之間等光程的Malus-Dupin定理 尝蠕。此外，對于制造問題载庭，應(yīng)考慮面型的表面連續(xù)性看彼。

光束轉(zhuǎn)換器的發(fā)展路線為從輸入和輸出光束保持平面波前且輻照度旋轉(zhuǎn)對稱分布到更一般的非旋轉(zhuǎn)對稱的情況，從近軸近似到非近軸情況囚聚。其中突出的理論有適用于近軸或小角度近似的最優(yōu)傳輸 (optimal transport, OT) 理論靖榕，非近軸情況下設(shè)計問題用類型的非線性偏微分方程描述等。

當(dāng)前不足：

當(dāng)前缺少適用于非近軸情況顽铸，輸入和輸出均為復(fù)雜波前的自由曲面透鏡設(shè)計方法茁计。

文章創(chuàng)新點：

基于此，北京理工大學(xué)的Zexin Feng(第一作者)和Yongtian Wang(通訊作者)等人提出了一種新的基于迭代波前裁剪 (iterative wavefront tailoring,IWT) 的方法來解決自由曲面透鏡設(shè)計問題谓松，以產(chǎn)生具有復(fù)雜輻照度分布和相位分布的特定輸出光束星压。這種方法可以簡化公式推導(dǎo)過程，靈活地生成各種高精度的自由曲面光學(xué)結(jié)構(gòu)鬼譬。從而以簡單娜膘、靈活和準(zhǔn)確的方式使用自由曲面光學(xué)實現(xiàn)光場控制。并設(shè)計了一個雙自由曲面透鏡优质，用于生成具有復(fù)雜輻照度和相位分布的輸出光束竣贪，該光束可以在后面一定距離處產(chǎn)生不同的輻照度分布军洼。

原理解析：

（1）迭代求解

步驟 0：先從給定的輸入光束信息中定義由單位輸入光線向量 和輸入波前描述的輸入光線序列。迭代開始前演怎，需要給定光線映射的初始估計,即由圖1描述的出射位置和入射位置對應(yīng)匕争，前提是光線無交叉。

步驟1：從光線映射中爷耀，得到輸出相位的一階偏導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)數(shù)據(jù)甘桑，和。然后畏纲，根據(jù)方程(6)（見附錄）確定輸出光線序列扇住。從輸出光線序列，基于最小二乘法重建輸出波前 盗胀。

步驟2：由于已經(jīng)確定了輸入光線序列和波前艘蹋，以及輸出光線序列和波前，因而可以計算雙自由曲面和票灰。計算是基于Snell定律和等光程的條件利用最小二乘法求解女阀。

步驟3：得到雙自由曲面的數(shù)據(jù)后，就可以確定s和t屑迂。我們還可以得到一個中間光線序列浸策，從中我們可以使用最小二乘法重建一個中間波陣面。在這里惹盼， 用于區(qū)分方程(9)中的庸汗。

步驟4：我們將的數(shù)據(jù)插入方程(9)和方程(10)。以為初始值手报，我們數(shù)值求解MA方程蚯舱。得到解后，我們可以基于方程(8)得到一個新的光線映射,掩蛤。

步驟5：將新的光線映射代入步驟 1 以重復(fù)循環(huán)枉昏。跳出循環(huán)的判據(jù)可以選擇為當(dāng)前光線映射與前一個或一定數(shù)量的迭代之間的差異小于某一個閾值。

步驟6：得到滿意的光線映射后揍鸟，需要像步驟1一樣指定其對應(yīng)的輸出光線序列和波前兄裂，并像步驟2一樣重建最終的雙自由曲面。

這種迭代過程可以使用于復(fù)雜光場控制的自由曲面透鏡設(shè)計更容易實現(xiàn)阳藻。盡管需要求解一系列 MA 方程晰奖，但可以采用輻照度控制 IWT 方法的多尺度策略來加快計算速度。 

仿真結(jié)果：

1腥泥、自由曲面面型設(shè)計結(jié)果畅涂，左為第一個面型，右為第二個面型

2道川、非近軸情況下，本文方法和L2OT光線映射法的對比。左為本文方法冒萄。

3臊岸、近軸情況下，本文方法和L2OT光線映射法的對比尊流，左為本文方法帅戒。

參考文獻(xiàn)：Zexin Feng, Dewen Cheng, and Yongtian Wang, "Iterative freeform lens design for optical field control," Photon. Res. 9, 1775-1783 (2021)

DOI：https://doi.org/10.1364/PRJ.430221

附錄：

一、參數(shù)化中間波前方程

考慮沒有能量損失和無光線交叉的情況崖技，輸入平面和輸出平面之間能量守恒逻住，用微分形式描述

下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù)，其中

令自由曲面透鏡中間的波前為

根據(jù)費馬原理迎献，關(guān)于x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)可以描述為

x和y都可以認(rèn)為是獨立變量的函數(shù)瞎访，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有

聯(lián)合（2）和（3）吁恍，得

令

則根據(jù)方程(4),可以將描述為

令單位輸出光線矢量扒秸，在幾何光學(xué)框架下，相位等同于光線冀瓦，而光線得方向由相位的一階偏導(dǎo)數(shù)決定伴奥，因此和相位的關(guān)系是

和可以通過共線關(guān)系聯(lián)系起來，

其中翼闽，s表示之間的位移拾徙，而t表示之間的位移。將(5)代入(7) 感局，得

一般來說尼啡，都依賴于。對于輸出光束波前為平面的簡化情況蓝厌，s和t都為零玄叠，難點主要在于處理。這樣的問題類似于彎曲目標(biāo)上的輻照度控制問題拓提，其中z值不是恒定的读恃。 對于更復(fù)雜的情況，輸出相位難以解析表達(dá)代态。在這種情況下寺惫，與相位梯度直接相關(guān)的s和t很難用明確表示。

此處簡化復(fù)雜得光場控制問題的解決方案是保留方程(8)右側(cè)的s和t蹦疑，并將它們視為u和v的函數(shù)西雀。 方程（8）及其對u和v的微分被代入到方程(1) 消除兩個變量。得到的方程是MA類型的二階偏微分方程歉摧， 

其中系數(shù)依賴于及其一階偏導(dǎo)數(shù)艇肴，以及x和y的二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 腔呜。重寫方程(8) 作為向量值函數(shù)，再悼，然后是方程(9)的一個非線性邊界條件可以描述為

其中分別是的邊界核畴。需要注意得是，方程(9) 除非事先給出冲九，否則無法求解谤草。然而,和與鏡頭數(shù)據(jù)耦合。為了解決這個矛盾莺奸，需要引入迭代過程求解丑孩。 

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