線性方程和矩陣
線性函數(shù)
線性方程
求解線性方程
筑基：斯坦福 線性動(dòng)力系統(tǒng)導(dǎo)論——線性方程和矩陣
1線性方程和矩陣
●線性函數(shù)
●線性方程
●求解線性方程
2線性函數(shù)
函數(shù)f將n-向量映射到m-向量是線性的前提為：
●放縮(scaling):對(duì)任意n-向量x桐汤，任意放縮比α而克，有f(αx) = αf(x)
●疊加(superposition):對(duì)任意n-向量u和v,f(u + v) = f(u) + f(v)
例子：
驗(yàn)證其縮放特性：
3矩陣乘法和線性函數(shù)
一般情形：f(x) = Ax,其中A是m X n矩陣
●放縮：f(αx) = A(αx) = αAx = αf(x)
●疊加：f(u + v) = A(u+v) = Au + Av = f(u) + f(v)
因此，矩陣乘法是一個(gè)線性函數(shù)
相反的怔毛，每一個(gè)線性函數(shù)y=f(x),其中y是一個(gè)m-向量员萍，x是一個(gè)n-向量，可以表示成y=Ax馆截，矩陣A大小為mXn
當(dāng)x= ej的時(shí)候充活，可以從Aij=yi得到A的系數(shù)
4線性函數(shù)的組成
假設(shè)
m-向量是n-向量的一個(gè)線函數(shù)，即蜡娶，y=Ax混卵，其中A是mXn矩陣
p-向量z是y的一個(gè)線性函數(shù)，即z=By,其中B是pXm矩陣
則窖张，z是x的一個(gè)線性函數(shù)幕随，且z=By=(BA)x
所以矩陣乘法對(duì)應(yīng)線性函數(shù)的組成，即某些變量的線性函數(shù)的線性函數(shù)
5線性方程
如果方程兩邊都由包含xi的倍數(shù)以及常數(shù)的和組成宿接，那么關(guān)于變量x1,…,xn的方程是線性的赘淮，例：
是關(guān)于x1,x2,x3的線性方程
任意關(guān)于變量x1,…,xn的m個(gè)線性方程的集合都可以由矩陣方程來表示
其中，A是一個(gè)m X n的矩陣睦霎，b是一個(gè)m-向量
6例子
關(guān)于3個(gè)變量x1,x2,x3的兩個(gè)方程
步驟1：重寫方程，讓變量在左邊副女，每個(gè)方程變量的順序一致蛤高，沒有的用0xn代替；常數(shù)項(xiàng)放在方程右邊：
(每一行是一個(gè)方程)
7
步驟2：將方程重寫為一個(gè)矩陣方程：
A的第i行是第i個(gè)方程的系數(shù)
A的第j列是方程的xj的系數(shù)
b的第i項(xiàng)是第i個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)
8求解線性方程
假設(shè)有n個(gè)變量x1,…,xn的n個(gè)方程，寫成矩陣形式Ax=b,則A是一個(gè)n X n矩陣戴陡，b是一個(gè)n-向量
假設(shè)A是可逆的塞绿，即，它的逆A-1存在
在Ax=b兩邊同時(shí)左乘A-1:
左邊簡(jiǎn)化為
從而線性方程被求解為：
注意恤批，手算求解x=A-1b是工作量相當(dāng)大的异吻，但是使用計(jì)算機(jī)就很快。
9當(dāng)矩陣A不可逆喜庞，即A的逆不存在時(shí)
●一個(gè)或多個(gè)方程是冗余的（即這些冗余方程可以由其它的方程得到）
●方程組是前后矛盾或者相互矛盾的
實(shí)際上：A不可逆意味著我們構(gòu)建了一個(gè)錯(cuò)誤的方程組诀浪，或者方程數(shù)不夠
10實(shí)際求解線性方程
在計(jì)算機(jī)上求解Ax=b(即，計(jì)算x=A-1b)延都，我們不計(jì)算A-1笋妥，然后將其與b相乘(當(dāng)然這樣做也是可以的)
實(shí)際操作是通過特殊的方法直接計(jì)算x=A-1b（在數(shù)值線性代數(shù)里研究）
用稀疏矩陣求解方程
在許多應(yīng)用中A有許多或幾乎所有的項(xiàng)是0，這時(shí)稱其為稀疏的窄潭。計(jì)算機(jī)求解稀疏線性方程特別高效春宣。
參考文獻(xiàn)：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd
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