筑基：斯坦福 線性動力系統(tǒng)導(dǎo)論——矩陣運(yùn)算

正文

筑基：斯坦福 線性動力系統(tǒng)導(dǎo)論——矩陣運(yùn)算

1矩陣運(yùn)算

●置回右，和隆圆，差，數(shù)乘

●矩陣乘法翔烁，矩陣-向量積

●矩陣求逆

2矩陣轉(zhuǎn)置(matrix transpose)

m X n的矩陣A的轉(zhuǎn)置渺氧，記為AT或A’，A的轉(zhuǎn)置矩陣大小為n X m

A的行和列都顛倒過來就是AT蹬屹，例子：

●轉(zhuǎn)置將行向量變成列向量侣背，反之亦然

●(AT)T=A

3矩陣加法&矩陣減法

如果矩陣A和矩陣B大小都為m X n白华，A+B通過對應(yīng)元素相加完成，例子：

矩陣減法類似：

（注意贩耐，根據(jù)此處語義弧腥，單位矩陣I的大小為2 X 2）

4矩陣加法的特性

●交換律：A+B=B+A

●結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C),所以可以寫為A+B+C

●A+0=0+A=A;A-A=0

●(A+B)T=AT+BT

5純量乘法(Scalar multiplication)

一個(gè)數(shù)(標(biāo)量，或純量)與一個(gè)矩陣相乘潮太，通過這個(gè)數(shù)與矩陣內(nèi)的每一個(gè)元素相乘完成

數(shù)乘將標(biāo)量和矩陣毗鄰表示或者用“·”連接表示：

●(α+β)A=αA+βA; (αβ)A=(α)(βA)

●α(A+B)=αA+αB

●0·A=0; 1·A=A

6矩陣乘法

如果A大小為m X p管搪，B大小為p X n，則可令C=AB铡买，C的大小為m X n

矩陣A和矩陣B能相乘的前提是A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)

7例子

例1：

例2：

矩陣乘法一般是不可交換的更鲁，即AB一般不等于BA

8矩陣乘法的特性

●0A=0，A0=0(此處的0可以是標(biāo)量奇钞，也可以是矩陣)

●IA=A澡为，AI=A

●(AB)C=A(BC),也可寫為ABC

●α(AB)=(αA)B,α是標(biāo)量

●A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC

●(AB)T=BTAT

9矩陣-向量積

矩陣乘法非常重要的特例是：y=Ax

●A是m X n矩陣

●x是n-向量

●y是m-向量

y=Ax可被認(rèn)為是

●一個(gè)將n-向量轉(zhuǎn)換為m-向量的函數(shù)

●一組將x和y聯(lián)系起來的m個(gè)線性方程

10內(nèi)積

當(dāng)ν是含n個(gè)元素的行向量，ω是含n個(gè)元素的列向量時(shí)蛇券，νω就有意義缀壤，且是一個(gè)大小為1 X 1的標(biāo)量：

元素?cái)?shù)相同的向量x和y，xTy是標(biāo)量纠亚，稱為x和y的內(nèi)積或點(diǎn)積塘慕，記為或x·y:

11矩陣冪

當(dāng)矩陣A是方陣的時(shí)候，積AA有意義蒂胞，通常記為A2图呢，k個(gè)A相乘記為 Ak

按照慣例，A0=I

AkAl=Ak+l

12矩陣求逆

如果矩陣A是方陣骗随，存在方陣F使得FA=I蛤织，則

●F稱為A的逆，記為A-1

●矩陣A稱為可逆的或非奇異的

如果A不存在逆鸿染，則稱為奇異的或不可逆的

AA-1=I

A的負(fù)數(shù)冪定義為A-k=(A-1)k

13例子

例1：

例2：沒有逆指蚜。假設(shè)其存在逆，則有

而滿足a-2b=1和-a+2b=0的a,b無解

14逆的特性

●(A-1)-1=A,即逆的逆是原矩陣(假設(shè)A是可逆的)

●(AB)-1=B-1A-1(假設(shè)A和B都可逆）

●(AT)-1=(A-1)T(假設(shè)A是可逆的)

●I-1=I

●(αA)-1=(1/α)A-1(α≠0) (假設(shè)A是可逆的)

●如果y=Ax涨椒，x∈Rn,A是可逆的摊鸡，則x=A-1y: 

15 2 X 2矩陣的逆

知道2 X 2矩陣的逆的一般公式是有用的：

ad-bc≠0（如果ad-bc=0，則矩陣式奇異的）

參考文獻(xiàn)：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd

關(guān)于昊量光電：

上海昊量光電設(shè)備有限公司是國內(nèi)知名光電產(chǎn)品專業(yè)代理商蚕冬，代理品牌均處于相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展前沿免猾；產(chǎn)品包括各類激光器、光電調(diào)制器囤热、光學(xué)測量設(shè)備猎提、精密光學(xué)元件等，涉及應(yīng)用領(lǐng)域涵蓋了材料加工旁蔼、光通訊锨苏、生物醫(yī)療疙教、科學(xué)研究、國防及更細(xì)分的前沿市場如量子光學(xué)蚓炬、生物顯微松逊、物聯(lián)傳感、精密加工肯夏、先進(jìn)激光制造等经宏；可為客戶提供完整的設(shè)備安裝，培訓(xùn)驯击，硬件開發(fā)烁兰，軟件開發(fā)，系統(tǒng)集成等優(yōu)質(zhì)服務(wù)徊都。

您可以通過昊量光電的官方網(wǎng)站www.wjjzl.com了解更多的產(chǎn)品信息沪斟，或直接來電咨詢4006-888-532。

本文章經(jīng)光學(xué)前沿授權(quán)轉(zhuǎn)載,商業(yè)轉(zhuǎn)載請聯(lián)系獲得授權(quán)暇矫。